“这是一部激动人心的、使人深思的著作”|使人们理解数学的最好方法之一

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原标题:“这是一部激动人心的、使人深思的著作”|使人们理解数学的最好方法之一

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想提高自己的数学水平

面对数学课本

在公式和定理的海洋里,

却难以找到学习数学的快乐?

用教材来学习数学不是件容易事

著名的数学家、数学教育家

莫里斯·克莱因是这样看的:

通常数学教科书所介绍的是一些没有什么关系的数学片断,它们给出一个系统的逻辑叙述,使人们产生了这样的错觉,似乎数学家们几乎理所当然地从定理到定理,数学家们能克服任何困难。而且课本字斟句酌的叙述,不能反映数学家们艰难的探索过程, 所有这些对于培养真正的富有创造力的数学家都是极其不利的。

莫里斯·克莱因

我们不要求成为数学家,

但我们对数学兴趣很足,

也希望自己变得更富有创造力

除了数学课本,应该看什么书呢?

答案是:

数学史!

为了克服数学教科书和数学教学中的诸多弊端,克莱因认为:

数学史可以提供整个课程的概况,使课程的内容互相联系,并且与数学思想的主干联系起来;数学史可以让学生们看到数学家们的真实创造历史——如何跌跤、如何在迷雾中摸索前进,从而鼓起研究的勇气;从历史的角度来讲解数学, 是使人们理解数学内容和鉴赏数学魅力的最好的方法之一。

小编今天向大家推荐

这类著作中最好的作品之一

莫里斯·克莱因的

《西方文化中的数学》

一个时代的特征在很大程度上与该时代的数学密切相关。

——莫里斯·克莱因

当你读完这本书时,一定会感叹:我们对数学了解的太少了。

《科学美国人》评价说:“这是一部激动人心、使人深思的著作。”

数学:西方文化的重要组成部分

张祖贵

在数学哲学的研究领域中,一般不包括数学文化(mathematical culture),但是克莱因在对数学文化的研究中,却大量地探讨了数学哲学问题,以至于我们不得不把他在这方面的思想纳入他的数学体系之中。在文化这一更为广阔的背景下,讨论数学的发展、数学的作用以及数学的价值,可以使人们对数学本体论、数学真理性等问题认识得更清楚、更深刻。

克莱因研究数学文化的目的之一,就是为了让人们不仅从数学思想、方法的角度,而且还能从文化的角度欣赏数学的全貌和魅力,向人们昭示数学是人类文化的重要组成部分。数学在西方文明中一直是一种主要的文化力量。数学不仅在科学推理中具有重要的价值,在科学研究中起着核心作用,在工程设计中必不可少,而且“数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法,摧毁和构建了诸多宗教教义,为政治学说和经济理论提供了依据,塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格,创立了逻辑学,而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案。……作为理性精神的化身,数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域,而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是,作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就,数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面,至少可与其他任何一种文化门类媲美”。一般人也许认为他所说的这些不过是夸夸其谈,是数学家面临着数学在社会文化中每况愈下状况的哀叹,但是当读完厚近500页的《西方文化中的数学》时,人们就会情不自禁地感叹:我们对数学了解得太少了。至少从文化角度是如此。在这本书中,克莱因按照历史顺序,从古埃及、古希腊开始详尽地论述了数学与文化发展的关系,直到20世纪数学与社会文化的相互联系,其中不乏独到的分析、精辟的见解。《科学美国人》评价说:“这是一部激动人心的、使人深思的著作。”

对于数学与文化发展的关系,克莱因的一个基本观点是:两者休戚相关。“一个时代的特征在很大程度上与该时代的数学密切相关。”希腊文化、罗马文化是这一观点的极好例证。正是由于古希腊强调严密推理、追求理想与美的数学高度发达,才使得古希腊具有优美的文学、极端理性化的哲学、理想化的建筑与雕刻,才使得古希腊社会具有现代社会的一切胚胎,也正是由于数学创造力的缺乏,才使得罗马民族缺乏独创精神,罗马建造了高标准的跑马场、浴池、雄伟的凯旋门,但罗马文化却是外来文化。克莱因认为,数学和来源于人类理性卓越光辉的真正激情第一次被希腊人激发了,他们的数学成就表明,在人类活动中,思想具有至高无上的作用,而且提供了文明的一个新概念;希腊人最大限度地决定着今天文明本质的贡献是他们的数学,这是希腊人为人类奉献的最好的礼物。英国著名历史学家汤因比(Arnold J.Toynbee,1889—1975)曾指出,世界上曾经存在21种文明,但只有希腊文明转变成了今天的工业文明,之所以如此,就是因为数学在希腊文明中提供了工业文明的要素。“言必称希腊”是历史的必然。

不仅如此,数学还是一棵富有生命力的树,她随着文明的兴衰而荣枯。在分析罗马文化、中世纪基督教文化与数学的关系时,他指出:“罗马人的实用主义结出的是不育之果,而基督教的神秘主义坚持要完全无视自然界,实际效果是阻碍了知识的进步,扼杀了创新精神。大量的历史事实表明,在这两种情形中,数学都不能蓬勃发展。数学只有在这样一种文化环境中才能结出累累硕果:在这种文化环境中,人们既能自觉自愿地探讨与自然界有关联的问题,与此同时,又允许思想毫无限制地自由发展,而不必去考虑是否能立刻解决人类及其世界所面临的问题。”从文化背景分析数学的发展,今天已经引起越来越多数学哲学家的重视,这无疑会加深人们对数学的认识。

文艺复兴,被克莱因称为“数学精神的复兴”。在《古今数学思想》、《数学与物理世界》、《数学:确定性的丧失》等著作中,他从数学自身的发展、科学发展论证了这一观点,在《西方文化中的数学》中,则从更广阔的文学、艺术、哲学——人类文化的几乎所有领域,再次论证了他的看法。欧洲人继承了自然界具有数学设计的思想,相信理性可以应用于人类的所有活动,一旦人们掌握了理性精神,西方文明就诞生了。在剖析达·芬奇的透视理论时,他认为,射影几何是“从艺术中诞生的数学”,在考察牛顿的数学成就及其思想时,他详细地分析了牛顿在三方面的影响:科学和哲学、宗教、文学和美学。我们认为,这样的研究为我们全面了解文化发展,具有重要的价值。对此,克莱因自己也作出了评价:数学在近代“推动了人们对世界广泛的理性探索,这一探索包括社会、人类、人类的每一种生活方式、习俗。这一时期为后代留下了范围极广的、包罗万象的规律。它还使我们的文明进入了追求真正的全知全能的时代,激发了把思想组织建立在数学模式上的系统的愿望,而且使人们对数学和科学的力量深信不疑。17、18世纪数学创造最伟大的历史意义是:它们为几乎渗透到所有文化分支中的理性精神注入了活力”。

不仅如此,数学还对欧洲社会的工业文明,对自由民主精神,更对人们的世界观产生了重大影响。数学对文化的更为本质的影响是在现代,可惜的是这种影响还没有为人们所认识。正是在我们这个时代,数学在对文化的影响方面才达到了它应该有的范围,而且有着不同寻常的用途。克莱因认为,由于数学已经广泛地影响着现代生活和思想,因此今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区别。从这个角度出发,我们不妨认为,数学文化的一个重要方面,就是阐述人类文明是如何受惠于数学的。也许,人之有理性也就在此吧!

数学文化应该包括两个方面:作为人类文化子系统的数学文化,它所涉及的是数学与其他文化、与整个文明的关系;另一方面就是数学本身作为一个文化系统,它的发生、发展及其结构。克莱因主要讨论的是数学文化的第一方面,对于第二方面谈得较少,不过在他的研究中也涉及了第二方面的问题。其中最富有特色的是,剖析了数学作为一种文化,它的语言系统、发展动力与价值系统。

如同音乐利用符号(乐谱)来代表和传播声音一样,数学也用符号表示数量关系和空间形式。克莱因认为,这是数学作为一个独立系统的重要特征。

关于数学的发展动力和价值标准,人们往往只注重应用方面、科学方面,而对于审美情趣、好奇心、智力挑战、心灵的满足诸方面,要么不予承认,要么就是承认,也认为只不过是其次的。但是,克莱因却认为:“实用的、科学的、美学的和哲学的因素,共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个,或抬高一个而去贬低另外一个都是不可能的,甚至不能断定这些因素中哪些具有相对的重要性。一方面,对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维,决定性地塑造了数学的特征,并且做出了像欧氏几何和现代非欧几何这样不可超越的贡献。另一方面,数学家们登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登,而是借助于社会力量的推动。如果这些力量不能为数学家们注入活力,那么他们就立刻会精疲力竭;然后这门学科将处于孤立的境地。虽然在短时期内还有可能光芒四射,但所有这些成就会是昙花一现。”在判定数学的价值方面,和谐、美、心灵的满足以及情感也同样与实用的、科学的标准并驾齐驱。

我认为,上述观点可以看作是数学本体论、数学真理论方面的多重标准论。的确,判定数学的价值和真理性不仅应有实用的、科学的标准,也要有美学的、哲学的标准,甚至这些标准是并重的,尤其是在数学丧失了实用的、科学的确定性,真理性的情况下。数学的当代发展、数学的本质、数学的历史注定了数学的标准是多重的!

千万不要误会,克莱因并不主张数学作为人类文化与人类精神是万能的。人的理性只是人的本性的一部分,人的欲望、感情与本能等动物性常常与理性冲突,作为人类理性的数学不可能引导、控制人的全部行动。尽管如此,数学作为人类文化的重要组成部分依然是有所作为的,尤其是在越来越多的人逐渐走向理智的时代。

【节选自《西方文化中的数学》译者前言】

延伸阅读:

1.《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》:在英语世界中有极高评价的科普著作,曾获得普利策文学奖。

集异璧-GEB,是数学家哥德尔、版画家艾舍尔、音乐家巴赫三个名字的前缀。《哥德尔、艾舍尔、巴赫书:集异璧之大成》是在英语世界中有极高评价的科普著作,曾获得普利策文学奖。它通过对哥德尔的数理逻辑,艾舍尔的版画和巴赫的音乐三者的综合阐述,引人入胜地介绍了数理逻辑学、可计算理论、人工智能学、语言学、遗传学、音乐、绘画的理论等方面,构思精巧、含义深刻、视野广阔、富于哲学韵味。

数学是绘画的、数学是音乐的;数学是语言的、数学是法律的……万物皆数。

2.《生命之数:用数学解释生命的存在》:和数学科普大师畅游生命世界的嘉年华!著名数学家伊恩 · 斯图尔特的精彩“跨界”之作,以数学的视角解读生命的奥秘。

3. 《数学传奇:那些难以企及的人物》:荣获“2017年度国家科学技术进步奖二等奖”,高等学校科学研究优秀成果,第十二届文津图书奖推荐图书。

这是一本极好的科普读物,有动人的故事,有深入的见解,有诗意的感触,也描述了数学王国的美丽与辉煌。

——杨振宁(物理学家,诺贝尔奖得主)

我读过蔡天新的诗和散文,很有文采,知道他是数学教授,更增几分敬意。其实数学与诗歌是有联通渠道的,这本书便是证明。

——莫言(作家,诺贝尔奖得主)

4.《数学与人类文明》: 入选国家新闻出版广电总局,向全国青少年推荐的百种优秀图书。

5.《数字与玫瑰》(修订版):一本关于数学、诗歌、绘画和旅行的随笔集,行走与沉思,感性与理性。

6.《了不起的数学家》:中英对照读本,走进数学家的传奇人生

伽利略——坚信地球围绕太阳运动的人

勒内·笛卡尔——说“我思故我在”的人

艾萨克·牛顿——观察苹果掉到地上的人

卡尔·弗里德里希·高斯——被尊称为“数学王子”的人

查尔斯·巴贝奇——计算机发明者

阿达·洛夫莱斯——写成第一个计算机程序的女性

7.《中国数学史》:钱宝琮数十年悉心研究的结果,中国数学史研究领域的经典之作。

8. 《中国古代数学》:数学是中国古代最为发达的学科之一,通常称为“算术”,即“算数之学”。

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